初中數(shù)學“勾股定理”必考點與知識總結【完整版】
來源：好上學 ??時間：2023-07-29
勾股定理是一個基本的幾何定理，在中國，《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。
勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中AB=c為最長邊。
勾股定理以及其逆定理的應用是中考的重點考查內容，對今后幾何的學習也具有舉足輕重的作用。據(jù)不完全統(tǒng)計，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達400多種了。下面我便向大家介紹幾種十分著名的證明方法。
1、勾股定理內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；
表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么
勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方
2、勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
常見方法如下：
方法一：
，
，化簡可證．
方法二：
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為
所以
方法三：
，
，
化簡得證.
3、勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形
4、勾股定理的應用①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在△ABC中，∠C=90°
，
，
，
②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關系③可運用勾股定理解決一些實際問題
5、勾股定理的逆定理①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2+b2與較長邊的平方c2 作比較，若它們相等時，以a，b，c 為三邊的三角形是直角三角形；若 a2+b2＜c2，時，以a，b，c 為三邊的三角形是鈍角三角形；
若a2+b2＞c2，時，以a，b，c 為三邊的三角形是銳角三角形；
②定理中a，b，c 及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c 滿足
a2+c2=b2，那么以a，b，c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊.
③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形。
6、勾股數(shù)①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a，b，c 為正整數(shù)時，稱a，b，c 為一組勾股數(shù)。
②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。
③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n2-1，2n，n2+1（n≥2，n為正整數(shù)）；
2n2+1，2n2+2n，2n2+2n+1（n為正整數(shù)）
m2-n2，2mn，m2+n2（m>n,m，n為正整數(shù)）
7、勾股定理的應用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關系的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作垂線），構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解．
8、勾股定理逆定理的應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論．
9、勾股定理及其逆定理的應用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體．通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．常見圖形：
10、互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。
看到這些知識，您孩子是否都清晰了呢？如果連這些關注度高的話題，我們都不在乎，那么，高考的那些偏題還能考什么呢？
