高中數(shù)學知識點總結(jié),高中數(shù)學重點知識
來源：好上學 ??時間：2023-07-29
關(guān)于高中數(shù)學知識點總結(jié)，網(wǎng)上有太多太多資源了，看了這么多資源，總的感受就是很吃力，大量的碼字，當學生想要使用到的知識點時，往往要往下翻半天。正是由于看到了這種不便，小編根據(jù)高考題型做了一份高中數(shù)學知識點總結(jié)。
函數(shù)是高考數(shù)學的基礎(chǔ)，又是重難點，將它作為我這份高中數(shù)學知識點的第一篇再合適不過。
一次函數(shù)
一、定義與定義式自變量x和因變量y有如下關(guān)系：y=kx+b 則此時稱y是x的一次函數(shù)。
特別地，當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx (k為常數(shù)，k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì)1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b (k為任意不為零的實數(shù) b取任何實數(shù))2.當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)1.作法與圖形：通過如下3個步驟(1)列表;(2)描點;(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點)
2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。
3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。當b>0時，直線必通過一、二象限;當b=0時，直線通過原點當b<0時，直線必通過三、四象限。特別地，當b=0時，直線通過原點o(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限。<>
四、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
二次函數(shù)
一、定義與定義表達式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,|a|還可以決定開口大小,|a|越大開口就越小,|a|越小開口就越大。)則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。<>
二、二次函數(shù)的三種表達式一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)頂點式：y=a(x-h)2+k [拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x?)(x-x?) [僅限于與x軸有交點A(x?，0)和 B(x?，0)的拋物線]
三、二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
四、拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x= -b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為P( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。<>
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。<>
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于(0，c)
反比例函數(shù)
形如 y=k/x(k為常數(shù)且k≠0) 的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。
反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。
由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于原點對稱。
另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為|k|。
知識點：1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。
2.對于雙曲線y=k/x ，若在分母上加減任意一個實數(shù) (即 y=k/(x±m(xù))m為常數(shù))，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數(shù)時向左平移，減一個數(shù)時向右平移)
對數(shù)函數(shù)
對數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實際上就是指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。
對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。
(1)對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)*。(2)對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)*。(3)函數(shù)總是通過(1，0)這點。(4)a大于1時，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸;a小于1大于0時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。
(5)顯然對數(shù)函數(shù)無界。
指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的一般形式為，從上面我們對于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數(shù)*為定義域，則只有使得
可以得到：(1) 指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的*，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。(2) 指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)*。(3) 函數(shù)圖形都是下凹的。(4) a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。(5) 可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。(6) 函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。(7) 函數(shù)總是通過(0，1)這點。
(8) 顯然指數(shù)函數(shù)無界。
奇偶性
一、定義一般地，對于函數(shù)f(x)(1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。(2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。(3)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。(4)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。說明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對整個定義域而言②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱，如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)一定不是奇(或偶)函數(shù)。(分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再嚴格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論)③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義
二、奇偶函數(shù)圖像的特征定理 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對稱圖形。f(x)為奇函數(shù)《==》f(x)的圖像關(guān)于原點對稱點(x,y)→(-x,-y)奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減。
三、奇偶函數(shù)運算1.兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).2.兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).3.一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).4. 兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù). 5.兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
6.一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).
值域
一、名稱定義函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的*。
常用的求值域的方法(1)化歸法(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合)(3)函數(shù)單調(diào)性法(4)配方法(5)換元法(6)反函數(shù)法(逆求法)(7)判別式法(8)復合函數(shù)法(9)三角代換法(10)基本不等式法等
二、關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個基本“元件”。平時數(shù)學中，實行“定義域優(yōu)先”的原則，無可置疑。
然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數(shù)的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當?shù)模^不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉(zhuǎn)化之中(典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化)。
如果函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質(zhì)有時并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。
才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內(nèi)函的理解，從而深化對函數(shù)本質(zhì)的認識。
三、“范圍”與“值域”相同嗎?“范圍”與“值域”是我們在學習中經(jīng)常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。
“值域”是所有函數(shù)值的*(即*中每一個元素都是這個函數(shù)的取值)，而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的*(即*中的元素不一定都滿足這個條件)。
也就是說:“值域”是一個“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。
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