正態(tài)分布知識點(正態(tài)分布)

從身高分布到馬太效應

正態(tài)分布無處不在

上一年超模君在高考的前一天，押中了高考作文題。

現(xiàn)在距離緊張又刺激的高考，只剩下2天了。

看樣子又到超模君蒙題的時刻，以下內(nèi)容有可能是考試重點，請做好筆記：

某位不愿透露姓名的考生問到超模君，他現(xiàn)在考上清華還有希望嗎？

超模君看了看他的近期成績，Emmm...

這位考生近期模擬考的分數(shù)分別為580,600,680,620，四次考試的平均值為620分，標準差為37.4，而一個學生的成績可以近似看做正態(tài)分布。

清華大學的分數(shù)線是680分，把它在上圖標出來：

上圖陰影的面積為0.03，也就是說考上清華大學的概率為3%。

所以超模君的建議是：

其實除了高考成績外，我們的生活中還有許多這樣的例子，比如：

身高

人的IQ分布

正態(tài)分布的前世今生

正態(tài)分布概念是由德國的數(shù)學家和天文學家棣莫弗（Moivre）于1733年首次提出，但當時他并沒有正態(tài)分布更多的應用成果，所以并沒有什么名氣。

后來，德國數(shù)學家高斯（Gauss）率先將其應用于天文學家研究，這時候正態(tài)分布才引起了人們的廣泛重視，因此正態(tài)分布又叫高斯分布。

左：棣莫弗 右：高斯

到了19世紀，高爾頓和凱特勒把正態(tài)分布用在了其他學科上，他們用實際的行動開拓了應用統(tǒng)計學，為數(shù)理統(tǒng)計學的產(chǎn)生奠定了基礎。

在他們兩人的影響下，正態(tài)分布獲得了普遍認可和廣泛應用（甚至是濫用）。

左：高爾頓 右：凱特勒

那么這么厲害的正態(tài)分布到底講的是什么呢？別急，我們先來看看高爾頓是怎么研究的。

1877 年，高爾頓設計了一個叫高爾頓釘板的實驗，模擬正態(tài)分布的性質：

實驗視頻只需14秒！

高爾頓釘板試驗內(nèi)容：

有一塊貼在墻上的木板，木板上有一些水平釘子，它們彼此的距離均相等。讓一些小球從木板上方的入口處自由落體，經(jīng)過一次次碰撞后，這些小球最終掉落到下方的豎槽中。

知道了實驗內(nèi)容后，我們來看看高爾頓釘板實驗的細節(jié)：

彈珠往下滾的時候，撞到釘子就會隨機選擇往左邊走，還是往右邊走：

這些小球最終的分布位置如下圖：

像這種左右對稱，兩頭低，中間高的曲線我們稱它為正態(tài)分布，又因其曲線呈鐘形，人們又經(jīng)常叫它鐘形曲線。

為什么正態(tài)分布會如此常見呢？

咳咳，接下來就是今天內(nèi)容的重點了（敲黑板）！

這個問題可以用中心定理（central limit theorem）來回答：在適當?shù)臈l件下，大量相互獨立隨機變量的均值經(jīng)適當標準化后依分布收斂于正態(tài)分布。

中心極限定理提出者——棣莫弗

這個定理可以這么理解：

生活中各種各樣的因素就像高爾頓釘板實驗中的釘子一樣，對我們各個方面產(chǎn)生了大大小小的影響，使得最后的結果分布趨近于正態(tài)分布；

但中心定理并不是萬能的，他擁有兩個很重要的前提：

首先，第一個前提就是取樣需要隨機。

這個前提相信大家可以很好地理解，如果我們抽取的人的時候，只抽抽長的高的或者只抽取長得矮的人，那么結果自然不符合正態(tài)分布。

第二，影響結果的因素是相互獨立或者是相互影響比較小的。

也就是說，如果影響結果的因素之間并沒有太大的關系，那么這些因素可以看成是相互獨立的，這樣結果才能符合正態(tài)分布。

以身高為例，影響一個人長高的因素有很多，例如：

父母長得高還是矮

營養(yǎng)是否跟得上

是否熱愛運動

......

等等

父母長得高還是矮對營養(yǎng)的補充沒有很大的關系，跟是否熱愛運動也沒有關系，所以可以看成是相互獨立的因素，所以身高的人群分布曲線自然就符合正態(tài)分布。

這時刻可能有人會問，如果這些因素不獨立，甚至是有緊密的聯(lián)系會怎么樣呢？

我們來看看下面這個例子：人均財富分布（馬太效應）。

從下圖可以發(fā)現(xiàn)：富人的有錢程度（可以一直向x軸右端延伸）遠遠超出窮人的貧窮程度，即財富分布曲線有右側的長尾。

人均財富分布圖

這是因為導致財富差距的因素比如教育資源，家庭背景，工作單位相互影響，并不獨立。

如果一個人家庭背景不錯，那么他大有機會獲得好的教育資源，從而選擇更好的工作。

這么來看的話，家庭，教育，工作3個因素產(chǎn)生了1 1 1＞3的結果；而相互獨立的因素應該是1 1 1=3（加法）。

這就導致圖像并沒有出現(xiàn)正態(tài)分布。

但是后來統(tǒng)計學家們發(fā)現(xiàn)，既然這些因素相互影響，那么完全可以把這些相互影響的因素看做乘法，接下來我們通過對數(shù)把乘法轉換為加法。

這里需要補一點高中的數(shù)學識：

大家在高中的時候都學過對數(shù)，對數(shù)有一個獨特的性質——可以把乘法變成加法。（如下圖所示）

把乘法變成加法后，不就可以看成結果是是由一個個獨立的因素影響的嗎？

因此我們對之前的數(shù)據(jù)取自然對數(shù)，結果就接近于正態(tài)分布了：

這就是正態(tài)分布的一個衍生——對數(shù)正態(tài)分布。

總的來說，正態(tài)分布解釋了自然界中大部分常見的分布問題，但事情的結果往往還是由自己決定的。

3%離100%的成功還差了32倍的汗水和付出。

如果想在高考（或者考研，國考）這個戰(zhàn)場上取得更好的成績，走進更好的學術殿堂，那么還是需要不斷地提升自己，減小隨機性（標準差）。